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前言

本文仅仅简单介绍了阶跃函数、冲激函数的定义、性质以及使用场景。

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一、阶跃函数（Unit Step Function）

1.定义

阶跃函数（通常表示为 𝑢(𝑡) 或 𝐻(𝑡)是一个分段常数函数，用于描述信号在某一时刻的突变。

2.数学定义

在 𝑡=0处，某些定义可能取 𝑢(0)=0.5，但工程中通常简化为 0或 1。

3.性质

时移性质

与其他信号的乘积

积分与微分

4.应用场景

系统测试

系统测试：作为输入信号（阶跃响应），分析系统的稳态和瞬态特性。

信号建模

信号建模：描述信号的开关行为（如电路中的电源接通）。

构建复杂信号

构造复杂信号：如矩形脉冲 𝑢(𝑡)−𝑢(𝑡−𝑇)

二、冲激函数（Dirac Delta Function）

1.定义

冲激函数 𝛿(𝑡)是一种广义函数

其物理意义为瞬时作用（如瞬时力、电流脉冲），数学上可通过矩形脉冲的极限定义：

2.性质

抽样性质

缩放性质

与阶跃函数的关系

偶函数性

3.应用场景

系统分析

系统分析：冲激响应 ℎ(𝑡)是线性时不变系统的核心特性，通过卷积可得任意输入响应。

信号采样

信号采样：理想采样模型

微分方程求解

微分方程求解：表示瞬时激励（如电路中的电容初始电压突变）。

三、阶跃函数与冲激函数的联系

1.微分与积分关系

1. 阶跃函数的导数是冲激函数
2. 冲激函数的积分是阶跃函数

2.系统响应关联

阶跃响应 𝑠(𝑡)的导数为冲激响应 ℎ(𝑡)，即 ℎ(𝑡)=𝑑𝑠(𝑡)/𝑑𝑡。

四、在信号与系统中的重要性

1.信号表示

信号表示：用于构建复杂信号（如分段信号、周期信号）。

2.系统特征提取

系统特性提取：冲激响应完全表征线性时不变系统。

3.频域分析

频域分析：冲激函数的傅里叶变换为全频带（𝐹{𝛿(𝑡)}=1），阶跃函数则含奇异分量（需结合符号函数）。

五、物理意义与工程应用

1.电路分析

电路分析：阶跃函数模拟电源开关，冲激函数描述电容瞬间充电。

2.力学系统

力学系统：冲激函数表示瞬时冲击力，阶跃函数表示恒力加载。

3.通信系统

通信系统：冲激函数用于理想采样，阶跃函数定义调制信号的起始。

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